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Allgemein gilt: $$\vec{F}=m\cdot\vec{a}=m\cdot\dot{\vec{v}}=m\cdot\ddot{\vec{r}}$$ Beim Wurf auf der Erde ist: $$\vec{F}=m\cdot\vec{a}=m\cdot\vec{g}\qquad \Longrightarrow \qquad m\cdot\dot{\vec{v}}=m\cdot\vec{g}\qquad \Longrightarrow \qquad\dot{\vec{v}}=\vec{g}$$ Aus $\,\dot{\vec{v}}=\vec{g}\,$ ergibt sich durch Integration: $$\vec{v}=\int\vec{g}\,dt=\vec{g}t+c_1$$ mit $\, t=0 \,$ folgt $$\vec{v}(t=0)=\vec{v_0}=\vec{g}\cdot 0+c_1 \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{g}t}$$

Aus $\,\vec{v}=\dot{\vec{r}}\,$ ergibt sich durch Integration: $$\vec{r}=\int\vec{v}\,dt=\int(\vec{v_0}+\vec{g}t)\,dt=\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2+c_2$$