msdoc

Allgemein gilt: $$\vec{F}=m\cdot\vec{a}=m\cdot\dot{\vec{v}}=m\cdot\ddot{\vec{r}}$$ Beim Wurf auf der Erde ist: $$|\vec{g}|\approx 9,81\frac{m}{s^2} \qquad \Longrightarrow \qquad \vec{F}=m\cdot\vec{a}=m\cdot\vec{g}\qquad \Longrightarrow \qquad m\cdot\dot{\vec{v}}=m\cdot\vec{g}\qquad \Longrightarrow \qquad\dot{\vec{v}}=\vec{g}$$ Aus $\,\dot{\vec{v}}=\vec{g}\,$ ergibt sich durch Integration: $$\vec{v}=\int\vec{g}\,dt=\vec{g}t+\vec{c_1}$$ mit $\, t=0 \,$ folgt $$\vec{v}(t=0)=\vec{v_0}=\vec{g}\cdot 0+\vec{c_1} \qquad \Longrightarrow \qquad \vec{c_1}=\vec{v_0} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{g}t}$$ Aus $\,\dot{\vec{r}}=\vec{v}\,$ ergibt sich durch Integration: $$\vec{r}=\int\vec{v}\,dt=\int(\vec{v_0}+\vec{g}t)\,dt=\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2+\vec{c_2}$$ mit $\, t=0 \,$ folgt $$\vec{r}(t=0)=\vec{r_0}=\vec{v_0}\cdot 0+\frac{1}{2}\vec{g}\cdot 0^2+\vec{c_2} \qquad \Longrightarrow \qquad \vec{c_2}=\vec{r_0} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2}$$

$$[\vec{v}]=\frac{m}{s} \qquad [\vec{g}t]=\frac{m}{s^2}\cdot s=\frac{m}{s} \qquad [\vec{r}]=m \qquad [\vec{v_0}t]=\frac{m}{s}\cdot s=m\qquad [\frac{1}{2}\vec{g}t^2]=\frac{m}{s^2}\cdot s^2=m$$