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Komplexe Zahlen
Imaginäre Einheit i für die gilt:
i2=−1 sowie (i=√−1)
Daraus ergibt sich: i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=i,i6=−1,i7=−i,i8=1,i9=i,...
Komplexe Zahlen in kartesischen Koordinaten
z=x+iy
ˉz=x−iy heißt zu z konjugiert komplexe Zahl.
Addition komplexer Zahlen
z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)=x1+x2+i(y1+y2)
Multiplikation komplexer Zahlen
z1⋅z2=(x1+iy1)⋅(x2+iy2)=x1x2−y1y2+i(x1y2+y1x2)
Division komplexer Zahlen
z1z2=z1¯z2z2¯z2=(x1+iy1)(x2−iy2)(x2+iy2)(x2−iy2)=x1x2+y1y2+i(y1x2−x1y2)x22+y22
insbesondere ist
1z=ˉzzˉz=x−iyx2+y2 und 1i=−ii(−i)=−i1=−i
Absolutbetrag einer komplexen Zahl
|z|=√x2+y2|z|2=zˉz|z|=|ˉz|
Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten
Mit x=r⋅cos(φ)y=r⋅sin(φ)
ergibt sich z=r(cos(φ)+i⋅sin(φ))
wobei r=√x2+y2 und tan(φ)=yx⇒φ=arctan(yx) ist.
Betrag
|z|=√x2+y2=√(r⋅cos(φ))2+(r⋅sin(φ))2=√r2(cos2(φ)+sin2(φ))=√r2=r
Multiplikation
z1⋅z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+sin(φ1+φ2))
Mit Hilfe der Additionstheoreme des sin und cos ergibt sich:
z1⋅z2=r1(cosφ1+isinφ1)⋅r2(cosφ2+isinφ2)=r1r2cosφ1cosφ2+r1r2isinφ1cosφ2+r1r2icosφ1sinφ2+r1r2i2sinφ1sinφ2
=r1r2(cosφ1cosφ2−sinφ1sinφ2)+r1r2(sinφ1cosφ2+cosφ1sinφ2)=r1r2(cos(φ1+φ2)+sin(φ1+φ2))
Allgemein:
z1z2z3...=r1r2r3...(cos(φ1+φ2+φ3...)+i(sin(φ1+φ2+φ3...)
Division
z1z2=r1r2(cos(φ1−φ2)+isin(φ1−φ2))
insbesondere ist
1z=1r(cosφ−isinφ)
Zusätzliche Rechenregeln
ˉz1+ˉz2=¯z1+z2
ˉz1⋅ˉz2=¯z1⋅z2