Logik

Die Logik bezieht sich auf Aussagen die enrweder wahr oder falsch sind, aber nicht beides oder etwas dazwischen (vielleicht).

$(1)\,\, 3+2=5 \longrightarrow wahr$

$(2)$ eine Kuh kann fliegen $\longrightarrow falsch$

$(3)$ es regnet $\longrightarrow wahr$ oder $falsch$, je nach Wetter

$(4)$ jede gerade Zahl ist Summe von zwei ungeraden Zahlen $\longrightarrow wahr$

$(5)$ jede ungerade Zahl ist Summe von zwei geraden Zahlen $\longrightarrow falsch$

$(6)$ jede positive gerade Zahl größer als 2, ist Summe von zwei Primzahlen $(Goldbachsche\, Vermutung) \longrightarrow \,\, ?$

Zu (6) kann kein Wahrheitswert zugeordnet werden, da noch nicht bewiesen.

$(1)$ Wie geht's ?

$(2)$ Dieser Satz ist falsch !

Bei einwertigen Verknüpfungen gibt es $2^2=4$ Möglichkeiten.

 1.   A | f1(A)          2.   A | f2(A)         3.   A | f3(A)         4.   A | f4(A)
     ---+------              ---+------             ---+------             ---+------
      w |   w                 w |   f                w |   w                w |   f
     ---+------              ---+------             ---+------             ---+------
      f |   w                 f |   f                f |   f                f |   w

       Verum                  Falsum         Identität, Affirmation         Negation

Hierbei ist die Negation am wichtigsten und f4(A) wird mit $\lnot (A)$ bezeichnet, die übrigen 3 haben keine Bezeichnung.

Hierbei werden 2 mathematische Aussagen logisch verknüpft, dabei gibt es $(2^2)^2=16$ Möglichkeiten.
Aussagenverknüpfungen nennt man Junktoren, die wichtigsten dieser 16 sind:

1. Konjunktion, und-Verknüpfung $\wedge\,\, (and)$
2. Disjunktion, oder-Verknüpfung $\lor\,\, (vel = lat.\,\,oder)$
3. Implikation, wenn-dann-Verknüpfung $\Rightarrow$
4. Äquivalenz, genau-dann-wenn-Verknüpfung $\Leftrightarrow$

1. Die Disjunktion (v) ist nur dann wahr, wenn A oder B oder auch beide wahr sind;
nicht zu verwechseln mit “entweder oder” welches in der Logik als Kontravalenz oder xor bezeichnet wird.

 A | B | A ⊻ B     xor wird mit ⊻ bezeichnet
---+---+--------    und ist nur dann wahr, wenn entweder A oder B wahr ist aber nicht beide !
 w | w |   f
 w | f |   w        es gilt auch: A ⊻ B = A ∨ B ∧ ¬(A ∧ B)
 f | w |   w
 f | f |   f

2. Implikation (⇒): Ist A falsch, kann alles geschlossen werden ! → ex falso quodlibet !

3. Ist A ⇒ B wahr, so ist A hinreichend für B, oder B ist notwendig für A.
Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr → die Gültigkeit von A ist hinreichend für die Gültigkeit von B.
A kann nie wahr sein, wenn B falsch ist; damit A wahr ist, ist es notwendig, dass B wahr ist → die Gültigkeit von B ist notwendig für die Gültigkeit von A.

 A | B | A ⇒ B     es wir nur der Fall betrachtet bei denen A und B wahr sind und somit die Implikation wahr ist !
---+---+-------
 w | w |   w

4. Sind zwei Aussagen äquivalent (⇔), so ist die Eine notwendig und hinreichend für die jeweils Andere !

Teilbarkeit ohne Rest.
Def.: $n|m$ mit $n, m \in\mathbb{Z}$ heißt n teilt m ohne Rest.
$(12|n) \Rightarrow (6|n)$ Teilbarkeit durch 12 ist hinreichend für die Teilbarkeit durch 6.
Jede Zahl die durch 12 teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar.
$(6|n) \Rightarrow (3|n)$ Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für die Teilbarkeit durch 6.
Jede Zahl die durch 6 teilbar sein soll, muss durch 3 teilbar sein.
In beiden Fällen gilt die Umkehrung nicht !

Eine wahre mathematische Aussagewird auch als Satz bezeichnet, meist in der Form A ⇒ B.
Hier ist nur der Fall interessant, in dem A wahr ist, in diesem Fall ist A ⇒ B genau dann wahr, wenn auch B wahr ist.
Um unter der Vorraussetzung (Annahme) der Richtigkeit der Aussage A zu zeigen, daß die Aussage A ⇒ B richtig ist,
muss man beweisen, dass die Behauptung B richtig (wahr) ist.