Sei $f(x)=ax^2+bx+c$ auf dem offenen Intervall $I \subseteq I\!\!R$ definiert,

mit $x_1,x_2,x_m \in I$ wobei $x_m=\frac{x_2-x_1}{2}+x_1=x_2-\frac{x_2-x_1}{2}$ ist.

Dann ist: $f'(x_m)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Beweis:

$\Longrightarrow f'(x)=2ax+b \longrightarrow f'(x_m)=2ax_m+b$

$f'(x_m)=2a(\frac{x_2-x_1}{2}+x_1)+b=2a(x_2-\frac{x_2-x_1}{2})+b$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a(x_2-x_1+2x_1)+b=a(2x_2-x_2+x_1)+b$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a(x_2+x_1)+b=a(x_2+x_1)+b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

$\Longleftarrow \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{(ax_2^2+bx_2+c)-(ax_1^2+bx_1+c)}{x_2-x_1}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{ax_2^2+bx_2+c-ax_1^2-bx_1-c}{x_2-x_1}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a(x_2^2-x_1^2)+b(x_2-x_1)}{x_2-x_1}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a(x_2-x_1)(x_2+x_1)+b(x_2-x_1)}{x_2-x_1}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a(x_2+x_1)+b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

$ (1) \Longleftrightarrow (2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ q.e.d.$