====== Logik ====== Die Logik bezieht sich auf __Aussagen__ die enrweder __wahr__ oder __falsch__ sind, aber nicht beides oder etwas dazwischen (vielleicht). ==== Beispiele für Aussagen: ==== $(1)\,\, 3+2=5 \longrightarrow wahr$ $(2)$ eine Kuh kann fliegen $\longrightarrow falsch$ $(3)$ es regnet $\longrightarrow wahr$ oder $falsch$, je nach Wetter $(4)$ jede gerade Zahl ist Summe von zwei ungeraden Zahlen $\longrightarrow wahr$ $(5)$ jede ungerade Zahl ist Summe von zwei geraden Zahlen $\longrightarrow falsch$ $(6)$ jede positive gerade Zahl größer als 2, ist Summe von zwei Primzahlen $(Goldbachsche\, Vermutung) \longrightarrow \,\, ?$ Zu (6) kann kein Wahrheitswert zugeordnet werden, da noch nicht bewiesen. ==== Beispiele für keine Aussagen: ==== $(1)$ Wie geht's ? $(2)$ Dieser Satz ist falsch ! ===== Logische Verknüpfungen ===== ==== Einwertige Verknüpfung ==== Bei einwertigen Verknüpfungen gibt es $2^2=4$ Möglichkeiten. 1. A | f1(A) 2. A | f2(A) 3. A | f3(A) 4. A | f4(A) ---+------ ---+------ ---+------ ---+------ w | w w | f w | w w | f ---+------ ---+------ ---+------ ---+------ f | w f | f f | f f | w Verum Falsum Identität, Affirmation Negation Hierbei ist die __Negation__ am wichtigsten und f4(A) wird mit $\lnot (A)$ bezeichnet, die übrigen 3 haben keine Bezeichnung. ==== Zweiwertige Verknüpfung ==== Hierbei werden 2 mathematische Aussagen logisch verknüpft, dabei gibt es $(2^2)^2=16$ Möglichkeiten.\\ Aussagenverknüpfungen nennt man __Junktoren__, die wichtigsten dieser 16 sind: - __Konjunktion__, und-Verknüpfung $\wedge\,\, (and)$ - __Disjunktion__, oder-Verknüpfung $\lor\,\, (vel = lat.\,\,oder)$ - __Implikation__, wenn-dann-Verknüpfung $\Rightarrow$ - __Äquivalenz__, genau-dann-wenn-Verknüpfung $\Leftrightarrow$ === Wahrheitstafeln der 4 wichtigsten Junktoren === ^ $\ \ \ $ A $\ \ \ $ ^ $\ \ \ $ B $\ \ \ $ ^ A $\wedge$ B ^ A $\lor$ B ^ A $\Rightarrow$ B ^ A $\Leftrightarrow$ B ^ | w | w | w | w | w | w | | w | f | f | w | f | f | | f | w | f | w | w | f | | f | f | f | f | w | w | === Bemerkungen === 1. Die Disjunktion (v) ist nur dann wahr, wenn A oder B oder auch beide wahr sind; \\ nicht zu verwechseln mit "entweder oder" welches in der Logik als __Kontravalenz__ oder __xor__ bezeichnet wird.\\ 
 A | B | A ⊻ B     xor wird mit ⊻ bezeichnet
---+---+--------    und ist nur dann wahr, wenn entweder A oder B wahr ist aber nicht beide !
 w | w |   f
 w | f |   w        es gilt auch: A ⊻ B = A ∨ B ∧ ¬(A ∧ B)
 f | w |   w
 f | f |   f
2. Implikation (⇒): Ist A falsch, kann alles geschlossen werden ! -> ex falso quodlibet !\\ \\ 3. Ist A ⇒ B __wahr__, so ist A __hinreichend__ für B, oder B ist __notwendig__ für A.\\ Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr -> die Gültigkeit von A ist hinreichend für die Gültigkeit von B.\\ A kann nie wahr sein, wenn B falsch ist; damit A wahr ist, ist es notwendig, dass B wahr ist -> die Gültigkeit von B ist notwendig für die Gültigkeit von A.\\ 
 A | B | A ⇒ B     es wir nur der Fall betrachtet bei denen A und B wahr sind und somit die Implikation wahr ist !
---+---+-------
 w | w |   w
4. Sind zwei Aussagen äquivalent (⇔), so ist die Eine notwendig und hinreichend für die jeweils Andere ! === Beispiel === Teilbarkeit ohne Rest.\\ Def.: $n|m$ mit $n, m \in\mathbb{Z}$ heißt n teilt m ohne Rest.\\ $(12|n) \Rightarrow (6|n)$ Teilbarkeit durch 12 ist hinreichend für die Teilbarkeit durch 6.\\ Jede Zahl die durch 12 teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar.\\ $(6|n) \Rightarrow (3|n)$ Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für die Teilbarkeit durch 6.\\ Jede Zahl die durch 6 teilbar sein soll, muss durch 3 teilbar sein.\\ In beiden Fällen gilt die Umkehrung nicht ! ===== Mathematische Sätze ===== Eine wahre mathematische Aussagewird auch als __Satz__ bezeichnet, meist in der Form A ⇒ B.\\ Hier ist nur der Fall interessant, in dem A wahr ist, in diesem Fall ist A ⇒ B genau dann wahr, wenn auch B wahr ist.\\ Um unter der Vorraussetzung (Annahme) der Richtigkeit der Aussage A zu zeigen, daß die Aussage A ⇒ B richtig ist,\\ muss man __beweisen__, dass die Behauptung B richtig (wahr) ist.