===== Mittelwertsatz bei quadratischen Funktionen =====

Sei $f(x)=ax^2+bx+c$ auf dem offenen Intervall $I \subseteq I\!\!R$ definiert,\\

mit $x_1,x_2,x_m \in I$ wobei $x_m=\frac{x_2-x_1}{2}+x_1=x_2-\frac{x_2-x_1}{2}$ ist.\\

Dann ist: $f'(x_m)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$\\

{{:mathematik:analysis:index_2.gif|}}

__Beweis:__\\

$\Longrightarrow f'(x)=2ax+b \longrightarrow f'(x_m)=2ax_m+b$\\

$f'(x_m)=2a(\frac{x_2-x_1}{2}+x_1)+b=2a(x_2-\frac{x_2-x_1}{2})+b$\\

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a(x_2-x_1+2x_1)+b=a(2x_2-x_2+x_1)+b$\\

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a(x_2+x_1)+b=a(x_2+x_1)+b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$\\
\\

$\Longleftarrow \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{(ax_2^2+bx_2+c)-(ax_1^2+bx_1+c)}{x_2-x_1}$\\

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{ax_2^2+bx_2+c-ax_1^2-bx_1-c}{x_2-x_1}$\\

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a(x_2^2-x_1^2)+b(x_2-x_1)}{x_2-x_1}$\\

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a(x_2-x_1)(x_2+x_1)+b(x_2-x_1)}{x_2-x_1}$\\

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a(x_2+x_1)+b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$\\
\\

$ (1) \Longleftrightarrow (2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ q.e.d.$