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====== Komplexe Zahlen ======
Imaginäre Einheit i für die gilt:\\
$\large \hspace 1em i^2 = -1\hspace 1em$ sowie $\hspace 1em (i= \sqrt{-1})$\\
Daraus ergibt sich: $\hspace 1em i^0=1,\hspace 1em i^1=i,\hspace 1em i^2=-1,\hspace 1em i^3=-i,\hspace 1em i^4=1,\hspace 1em i^5=i,\hspace 1em i^6=-1,\hspace 1em i^7=-i,\hspace 1em i^8=1,\hspace 1em i^9=i,\hspace 0.5em ...$
\\
===== Komplexe Zahlen in kartesischen Koordinaten =====
$z=x+iy$\\
$\bar{z}=x-iy\hspace 1em$ heißt zu z konjugiert komplexe Zahl.
\\
=== Addition komplexer Zahlen ===
$z_1 + z_2=(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=x_1+x_2+i(y_1+y_2)$
\\
=== Multiplikation komplexer Zahlen ===
$z_1 \cdot z_2=(x_1+iy_1)\cdot(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+y_1x_2)$
\\
=== Division komplexer Zahlen ===
$\Large  \frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar{z_2}}{z_2\bar{z_2}}=\frac{(x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2)}{(x_2 + iy_2)(x_2 - iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}$\\
insbesondere ist\\
$\Large \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}\hspace 0.5em$ und $\Large \hspace 0.5em \frac{1}{i}=\frac{-i}{i(-i)}=\frac{-i}{1}=\large -i$

=== Absolutbetrag einer komplexen Zahl ===
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}\hspace 2em |z|^2=z \bar z\hspace 2em |z|=|\bar z|$\\
\\
===== Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten =====
Mit $\hspace 0.5em x=r\cdot \cos(\varphi)\hspace 2em y=r\cdot \sin(\varphi)$\\

ergibt sich $\hspace 0.5em z=r(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))$\\
\\
wobei $\hspace 0.5em r=\sqrt{x^2+y^2}\hspace 0.5em$ und $\hspace 0.5em \tan(\varphi)=\frac{y}{x} \Rightarrow \varphi=\arctan (\frac{y}{x})\hspace 0.5em$ ist.

=== Betrag ===
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(r\cdot \cos(\varphi))^2 + (r\cdot \sin(\varphi))^2}=\sqrt{r^2(\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi))}=\sqrt{r^2}=r$

=== Multiplikation ===
$z_1\cdot z_2=r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2)+\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$\\

Mit Hilfe der Additionstheoreme des sin und cos ergibt sich:\\
$z_1\cdot z_2=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\cdot r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=r_1r_2\cos\varphi_1\cos\varphi_2+r_1r_2i\sin\varphi_1\cos\varphi_2+r_1r_2i\cos\varphi_1\sin\varphi_2+r_1r_2i^2\sin\varphi_1\sin\varphi_2$\\
$\hspace 2.7 em = r_1r_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 - \sin\varphi_1\sin\varphi_2)+r_1r_2(\sin\varphi_1\cos\varphi_2+cos\varphi_1\sin\varphi_2)=r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2)+\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$\\

Allgemein:
$\hspace 0.5 emz_1z_2z_3 ... =r_1r_2r_3 ... (\cos(\varphi_1 +\varphi_2 +\varphi_3 ...)+i(\sin(\varphi_1 +\varphi_2 +\varphi_3 ...)$\\

=== Potenzieren ===
$z^n= r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$\\
das ergibt sich aus der allgemeinen Multiplikation mit $\hspace 0.5em z_1=z_2=z_3= ... =z_n$

=== Division ===
$\Large \frac{z_1}{z_2}\normalsize =\Large \frac{r_1}{r_2}\normalsize(\cos(\varphi_1 - \varphi_2)+i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$\\

insbesondere ist\\
$\Large \frac{1}{z}\normalsize =\Large \frac{1}{r}\normalsize (\cos\varphi - i\sin\varphi)$

=== Wurzel aus komplexen Zahlen ===
Im komplexen existieren alle Wurzeln, d. h. zu $\sqrt[n]{z}$ gibt es $n$ Lösungen.\\

$\large  \sqrt[n]{z}=w_k \hspace 2em \normalsize k=1, 2, 3, ..., n-1 \hspace 1em$ mit
$\hspace 1em \large w_k =\sqrt[n]{r}(\cos(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}) +i\sin(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}))$
===== Zusätzliche Rechenregeln =====
  * $\hspace 1em\bar z_1 + \bar z_2 = \overline{z_1 + z_2}$\\
  * $\hspace 1em\bar z_1 \cdot \bar z_2 = \overline{z_1 \cdot z_2}$\\
  * $\hspace 1em z + \bar z=x+iy +x-iy=2x$\\
  * $\hspace 1em z- \bar z=x+iy-(x-iy)=2iy$