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--- mathematik:algebra:komplexe_zahlen [2023/08/29 16:42] – [Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten] ms
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 === Potenzieren ===
-$z^n= r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\vatphi))$
+$z^n= r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$\\
+das ergibt sich aus der allgemeinen Multiplikation mit $\hspace 0.5em z_1=z_2=z_3= ... =z_n$
 === Division ===
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 insbesondere ist\\
 $\Large \frac{1}{z}\normalsize =\Large \frac{1}{r}\normalsize (\cos\varphi - i\sin\varphi)$
+=== Wurzel aus komplexen Zahlen ===
+Im komplexen existieren alle Wurzeln, d. h. zu $\sqrt[n]{z}$ gibt es $n$ Lösungen.\\
+$\large  \sqrt[n]{z}=w_k \hspace 2em \normalsize k=1, 2, 3, ..., n-1 \hspace 1em$ mit
+$\hspace 1em \large w_k =\sqrt[n]{r}(\cos(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}) +i\sin(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}))$
 ===== Zusätzliche Rechenregeln =====
-$\bar z_1 + \bar z_2 = \overline{z_1 + z_2}$\\
+  * $\hspace 1em\bar z_1 + \bar z_2 = \overline{z_1 + z_2}$\\
-$\bar z_1 \cdot \bar z_2 = \overline{z_1 \cdot z_2}$
+  * $\hspace 1em\bar z_1 \cdot \bar z_2 = \overline{z_1 \cdot z_2}$\\
+  * $\hspace 1em z + \bar z=x+iy +x-iy=2x$\\
+  * $\hspace 1em z- \bar z=x+iy-(x-iy)=2iy$